20 · Integrar en la vertical

arrastra para girar · rueda para acercar · clic derecho para desplazar

Qué es

Con presión hidrostática (lección 19) cada columna de agua se mueve como un bloque. Entonces se puede promediar en la vertical: el perfil u(z) de cada columna se reemplaza por un solo número, la velocidad media U.

$$U = \frac{1}{h}\int_{z_b}^{\eta} u\,dz \qquad h = \eta - z_b$$

Desaparece z. Cada punto (x, y) del plano guarda solo h, U y V.

Un tramo con el fondo más hondo en el centro. Cada columna tiene su tirante h y su perfil de velocidades; la flecha naranja de arriba es su promedio U (Manning con S = 1 ‰, n = 0.03).

columna elegida (y, m)

Las ecuaciones de aguas someras

$$\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial (hU)}{\partial x} + \frac{\partial (hV)}{\partial y} = 0$$

$$\frac{\partial (hU)}{\partial t} + \frac{\partial (hU^2)}{\partial x} + \frac{\partial (hUV)}{\partial y} = -g\,h\,\frac{\partial \eta}{\partial x} - \frac{\tau_{bx}}{\rho}$$

(y otra igual para V). Cada término viene de Navier-Stokes: la presión hidrostática dio −g·h·∂η/∂x, y todo el roce de la vertical (viscoso y turbulento) quedó como el esfuerzo en el fondo τ_b.

En el canal. Estas son las ecuaciones que resuelve HEC-RAS 2D (en su versión completa o simplificada a onda difusiva), celda por celda, con τ_b calculado con Manning. Por eso un modelo 2D ve las velocidades a lo ancho del cauce, pero no el perfil vertical.