13 · Laplaciano

gráfico 2D · mueve los controles del panel

Qué es

El laplaciano compara el valor de un punto con el promedio de sus vecinos. Es la "derivada segunda" en todas las direcciones: mide la curvatura.

$$\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}$$

$$= \frac{2}{h^2}\Big[\text{promedio de vecinos} - f(x)\Big]$$

∇²f > 0: el punto está por debajo de sus vecinos (valle). ∇²f < 0: está por encima (cima). Aquí lo vemos en 1D, sobre x.

x₀ (punto que se compara)

h (distancia a los vecinos)

En el canal. El término viscoso de Navier-Stokes es $\nu\,\nabla^2\vec u$: la viscosidad empareja las velocidades vecinas, como en la pestaña Difusión.

En un flujo laminar y permanente, ese término equilibra a la gravedad: $\nu\,u'' = -g S$, y el perfil sale parabólico (el ejercicio de flujo entre placas paralelas).

En un río real manda la turbulencia: RANS agrega una viscosidad "turbulenta" mucho mayor, y el perfil se aplana (el logarítmico de la lección 06).