11 · Gradiente

vista en planta · colores e isolíneas = campo escalar f · flechas = su gradiente

Qué es

El gradiente convierte un campo escalar en un campo de flechas. En cada punto, la flecha ∇f apunta hacia donde f sube más rápido, y su largo dice cuánto sube por metro.

$$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}\right)$$

Cada componente es una derivada parcial (lección 07): la pendiente mirando solo en x y la pendiente mirando solo en y. ∇f siempre es perpendicular a la isolínea.

Elige un campo escalar

x de la sonda (m)

y de la sonda (m)

En el canal. En Navier-Stokes aparece $-\frac{1}{\rho}\nabla p$: el agua es empujada desde donde la presión es alta hacia donde es baja, es decir, en el sentido de −∇p.

En aguas someras y en Saint-Venant ese término se vuelve $-g\,\nabla\eta$: la pendiente de la superficie libre η empuja el agua cuesta abajo. En 1D queda $gA\,\partial h/\partial x$ (junto con la pendiente del fondo).

En agua quieta, ∇p = (0, 0, −ρg): la presión crece hacia abajo, y −∇p/ρ empuja hacia arriba justo lo necesario para equilibrar el peso.