07 · La derivada

arrastra para girar · rueda para acercar · clic derecho para desplazar

arrastra sobre el gráfico para mover x₀

Qué es

La derivada es la pendiente de la curva en un punto: cuánto cambia y por cada cambio muy pequeño de x. Se construye con una resta y una división, haciendo el paso cada vez más pequeño.

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

$$\Delta x \to 0: \quad \frac{\Delta y}{\Delta x} \;\to\; \frac{dy}{dx} = f'(x_0)$$

x₀ (dónde se mide la pendiente)

Δx (paso; escala logarítmica)

En el canal. Navier-Stokes está lleno de ∂: ∂u/∂t es cuánto cambia la velocidad en un punto fijo con el tiempo; ∂u/∂x, cuánto cambia aguas abajo.

La pendiente del fondo es una derivada: S₀ = −dz_b/dx. En Saint-Venant, ∂h/∂x (la superficie inclinada) es lo que empuja el agua.

Y la fricción: τ = μ·du/dz. La pendiente del perfil de velocidades junto al fondo (lección 06) es el esfuerzo que frena al río.